La formula di Colebrook–White: dalle intuizioni di Chézy all’abaco di Moody

La formula di Chezy

Nel 1775 Antoine de Chézy (1718–1798), incaricato di studiare un canale sull’Yvette per l’acquedotto di Parigi, raccoglie dati sul canale Courpalet e sulla Senna e ne ricava la prima formula scientifica per il moto uniforme:

V = C · √(R · J)

con R raggio idraulico e J pendenza del pelo libero. La formula si estende alle correnti in pressione ponendo R = D/4. Il manoscritto rimarrà negli archivi dell’École des Ponts et Chaussées fino alla pubblicazione di Clemens Herschel nel 1897.

Da Chezy a Dacy-Weisbach

Julius Weisbach (1845) formalizza la resistenza al moto in condotta introducendo il coefficiente adimensionale λ e la dipendenza quadratica dalla velocità; Henry Darcy (1857) ne misura sistematicamente il valore su tubi in ghisa. Nasce l’equazione oggi universalmente adottata per la perdita di carico distribuita:

h = λ · (L/D) · (V² / 2g)

con h perdita di carico, D diametro del tubo, L lunghezza del tubo, V velocità dell’acqua e g accelerazione di gravità.Questa formulazione lega la perdita di carico al quandrato della velocità.

Il problema si sposta interamente sul coefficiente di attrito λ.

Il numero di reynolds

Nel 1883, Osborne Reynolds iniettando un filetto di colorante in un tubo di vetro mostra che il comportamento del moto dipende da un numero adimensionale — rapporto fra forze inerziali e viscose — che porterà il suo nome:

Re = ρ · V · D / μ = V · D / ν

con ρ densità dell’acqua, μ viscosità dinamica, ν viscosità cinematica dell’acqua.

Sotto un valore critico il moto è ordinato, sopra è caotico. Nasce la tripartizione ancora oggi in uso: laminare, transizione, turbolento.

Vengono individuate tre zone di moto: laminare, transizione, turbolento.

L’abaco di Moody

Nel 1944 Lewis F. Moody pubblica su Transactions of the ASME l’articolo Friction Factors for Pipe Flow: un grafico bilogaritmico su cui riporta la retta laminare, la zona critica, il fascio delle curve turbolente calcolate con Colebrook–White per varie scabrezze relative ε/D, e i loro asintoti orizzontali nel regime completamente scabro.

Esso individua le tre zone e il relativo valore del paramentro λ.

È stato lo strumento di lavoro dell’ingegnere idraulico per mezzo secolo e resta oggi il modo più efficace per visualizzare la struttura fisica del problema, anche quando il calcolo è delegato a un software.

Il moto laminare

Per Re ≲ 2 300 vale la soluzione analitica di Hagen–Poiseuille (1839–1841). I filetti fluidi restano rettilinei e paralleli all’asse. Il profilo di velocità è parabolico.

La resistenza è dovuta esclusivamente alla viscosità, la scabrezza della parete è irrilevante. Il coefficiente di attrito ha forma chiusa:

λ = 64 / Re

Il moto turbolento

Per Re > 4 000 il moto è pienamente turbolento. I filetti perdono l’ordine laminare e si organizzano in vortici di scala variabile . Il profilo di velocità si appiattisce nella regione centrale.

Immediatamente a ridosso della parete resta però uno strato sottilissimo in cui la viscosità continua a dominare: il substrato limite viscoso, di spessore δ’ molto piccolo, tipicamente frazioni di millimetro nelle condotte tecniche. Il rapporto tra δ’ e l’altezza della scabrezza equivalente ε determina il sotto-regime turbolento.

Moto del tubo idraulicamente liscio (δ’ > ε). Le asperità sono coperte dal substrato, la parete si comporta come liscia. λ dipende solo da Re.

Vale la relazione di Prandtl–von Kármán: 1/√λ = 2·log₁₀(Re·√λ) − 0,8.

Moto del tubo turbolento di transizione (δ’ ≈ ε). Il substrato si assottiglia, le asperità affiorano, viscosità e resistenza di forma contribuiscono entrambe. λ = f(Re, ε/D).

È qui che si colloca la maggior parte delle applicazioni tecniche.

Moto del tubo assolutamente turbolento (δ’ ≪ ε). Le asperità sporgono al di sopra del substrato; la dissipazione è dominata dalla resistenza di forma e diventa indipendente da Re.

Vale la relazione di von Kármán–Nikuradse: 1/√λ = −2·log₁₀(ε/(3,7·D)).

Nel diagramma di Moody le curve diventano orizzontali.

Il concetto di scabrezza equivalente ε si deve a Johann Nikuradse (1933): incollando granuli di sabbia calibrata a tubi metallici, ricava le due asintote — liscia e completamente scabra — e stabilisce la convenzione ancora in uso: ε del materiale reale è la grana che, applicata a un tubo altrimenti liscio, produrrebbe la stessa perdita nel regime completamente scabro.

La formula di Colebrook-White

I dati di Nikuradse su scabrezze uniformi mostravano nella zona di transizione un minimo di λ che i tubi commerciali reali non presentavano. Alla fine degli anni Trenta Cyril F. Colebrook e Cedric M. White conducono a Londra esperimenti su tubi in cemento centrifugato e bitume (D da 101,6 a 1 524 mm, ε da 0,043 a 0,254 mm). Pubblicano i dati sui Proceedings of the Royal Society A nel 1937; nel 1939 Colebrook, riconoscendo il contributo di White, presenta sul Journal of the Institution of Civil Engineers l’equazione di raccordo:

formula

Costruita per ridursi all’asintoto di Prandtl–von Kármán per ε → 0 e a quello di von Kármán–Nikuradse per Re → ∞, descrive con eccellente accuratezza il regime di transizione turbolento per tubi commerciali. Da ottant’anni è lo standard progettuale universale.